第8章 无穷的窗口

几个世纪以前，数学家们就认识到，一致并且有效地使用无穷的概念是有可能的。无穷集合、无穷大的量和无穷小的量都是有意义的。它们的许多属性违反直觉，因此无穷理论的引入一直有争议。但关于有限事物的许多事实一样违反直觉。道金斯所说的“基于个人怀疑的论证”并不是论证，只是一种喜爱狭隘误解胜过普遍真理的偏好。

物理学也是很早就考虑到了无穷。欧几里得空间是无穷的，而且在任何情况下，空间通常都被视作连续统：即使是长度有限的线段，也由无穷多的点组成。任意两个时刻之间有无穷多的瞬间。但在牛顿和莱布尼茨发明微积分以前，人们对连续量的理解一直是零散和矛盾的。微积分是一种用数量无限多的无穷小量来分析连续变化的技巧。

“无穷的开始”——知识在未来无穷增长的可能性——取决于其他众多的无穷。其中之一是自然法则的通用性，它允许将有限、局部的符号应用于整个时间和空间，以及所有的现象和所有可能的现象。另一个条件是，存在作为通用解释者的物理实体（也就是人），他们必定也是通用建造者，而且其中必定包含通用经典计算机。

大多数通用性本身就涉及某种无穷，尽管它们总是可以用某种无限制 的而非实际上无穷的东西来阐释。反对无穷的人称之为“潜在的无穷”，而非“实在的”无穷。例如，无穷的开始可以描述成“进步在未来将是无界限的 ”的状态，或是“将会取得数量无穷 多的进步”的状态。但我在使用这些概念时把它们当作可互换的，因为它们在这个背景下没有实质区别。

有一种数学哲学称为有限主义 ，该学说认为，只有有限的抽象实体能够存在。因此，比方说，自然数的数量是无穷的，但有限主义者坚持认为这只不过是个说法问题。他们说，真正的真理只是存在一种有限的规则，它规定每个自然数（或更准确地说是每个数值）都可以根据前一个自然数产生。但这个学说会遇到以下问题：是否存在一个最大的自然数？如果存在，它就与产生更大的数的规则相矛盾；如果不存在，那自然数的数量就不是有限的。这样，有限主义者就不得不否认一条逻辑规律——“排中律”，该规律的内容是，对于每个有意义的命题，要么它本身为真，要么它的否命题为真。于是有限主义者说，虽然没有最大的数，但也没有无限多的数。

有限主义是运用在数学上的工具主义，从原则上拒绝解释。它尝试把数学实体看作纯粹是数学家遵循的流程、在纸上做记号的规则之类的东西，它们在某些场合有用，但并不指代有限的经验对象（如两个苹果或三个橘子）以外的任何实在物。因此，有限主义本质上是以人类为中心的，这并不奇怪，因为它把狭隘主义当成理论的优点而非缺点。在科学方面，它还有一个工具主义和经验主义具有的致命缺陷，即认为数学家对有限 实体拥有一些他们对无限 实体所没有的特许权限。但是，情况根本不是这样。所有的观察都是理论负载的。所有的抽象推理过程也是理论负载的。所有对抽象实体（不管有限还是无穷）的探究，都是通过理论进行的，与对物理实体的探究一样。

换句话说，有限主义同工具主义一样，只是一个用来阻碍我们在理解直接经验以外的实体方面取得进步的方案。但这也就意味着阻碍普遍意义上的进步，因为，正如我此前解释的，我们的“直接经验”以内 并没有实体。

以上所有讨论都假定理性 具有通用性。科学的延伸有着固有的局限，数学也是，每个哲学分支都是。但如果你相信理性作为思想观念仲裁者的适用范围有边界，就等同于相信非理性或超自然。同样地，如果你拒绝无穷，就会困在有限里，而有限是狭隘的，我们决不应该停在那里。对任何事物 的最好解释终究都要涉及通用性，也就要涉及无穷。解释的延伸不应受到许可的限制。

数学上对此的表达方式之一，是由数学家康托在19世纪首先阐明的一条原理：抽象实体可以用其他实体通过任何方式来定义，只要这些定义明确并且一致。康托开创了现代数学对无穷的研究，数学家约翰·康威在20世纪捍卫和归纳了康托的原理，并给这条原理起了个既古怪又合适的名称：数学家解放运动 。康威在辩护中说，康托的发现在同侪中遭到了尖刻的反对，包括当时的大多数数学家、许多科学家、哲学家——还有神学家。具有讽刺意味的是，宗教上对此的反对意见实际上是以平庸原则为基础的，认为试图理解和运用无穷是侵犯上帝的特权。在20世纪中期，对无穷的研究早已成为数学的常规组成部分，并在数学中得到无数应用，但哲学家路德维希·维特根斯坦还轻蔑地称无穷“毫无意义”。（尽管最终他对整个哲学进行了同样的指责，包括他自己的工作在内——参见第12章。）

我在前面已经讲了一些在原则上拒绝无穷的事例，比如阿基米德、阿波洛尼乌斯其他人对通用数字系统的奇怪反感。还有工具主义和有限主义之类的学说。平庸原则的出发点是逃离狭隘主义、向无穷延伸，结果却是把科学禁锢在一个极其微小、不具代表性的可理解性泡泡里。此外还有悲观主义（我在下一章会讲到），它将失败归咎于改进有着有限的边界。悲观主义的一个例子是宇宙飞船地球号那自相矛盾的狭隘主义，把这个运载工具当成一个无穷的隐喻会更合适。

每当我们提及无穷，都是在运用某种思想观念的无穷延伸。因为每一种无穷的观念之所以有意义，都是因为存在一个解释，它可以说明为什么一些用来处理有限符号的有限规则集合能指向某种无穷的事物。（让我重复一下，我们关于其他一切事物的知识也是如此。）

在数学上，无穷是通过无穷集（指包含无穷多个元素的集合）来研究的。无穷集的定义特征是，它的一部分与总体拥有同样多的元素。例如，考虑一下自然数（见图8-1）。

图8-1　自然数集合与它的一部分拥有同样多的元素

在图中最上面的一行，每一个自然数刚好出现一次。下面那行只包含自然数集合的一部分：从2开始的自然数。这张图对两个集合进行了对应标记（数学家称之为“一一对应”），证明两者拥有的元素数量相等。

数学家大卫·希尔伯特设计了一个思想实验来说明人在思考有关无穷的概念时需要放弃的一些什么样的直觉。他想象有一家有着无穷多间客房的旅馆，名叫无穷旅馆 （见图8-2）。客房用自然数编号，开始是1，结尾是——什么？

图8-2　无穷的开始——无穷旅馆的客房

最后的房间号不是无穷大。首先，不存在最后的房间。认为有编号的房间组成的集合总有一个最大编号，这是来自日常生活的第一直觉，必须舍弃。其次，在房间编号从1开始的有限旅馆中，必定有一个房间的编号与所有房间的总数相等，另外还有编号与这个号码接近的房间：如果有10间客房，其中必然有一间的编号是10，还有一间编号是9。但在无穷旅馆里，房间总数是无穷大，所有 房间的编号都远小于无穷大。

现在让我们想象一下，无穷旅馆客满。每间客房都有一位客人，不允许更多。对于有限旅馆，“客满”就等于“没有空房来容纳更多客人了”。但无穷旅馆总有空房。投宿无穷旅馆的条件之一是，客人必须按管理人员的要求更换房间。因此，如果来了一位新客人，管理人员会通过公共广播系统宣布“请所有客人立刻换到编号比目前房间大一号的房间去”。于是，就像本章图8-1显示的那样，1号房的客人搬到2号房，2号房的客人搬到3号房，依此类推。在最后一间客房会发生些什么？由于并不存在最后一间客房，也就不存在那里会发生什么的问题。新客人可以住进1号房。在无穷旅馆，永远不需要预订房间。

显然，在我们的宇宙里不可能存在这样的无穷旅馆，因为它违背了一些物理规律。不过，这只是一个数学 思想实验，所以想象中的物理规律所受的唯一约束是它们必须一致。正是由于 对一致性的要求，它们才违反直觉：关于无穷的直觉往往是不合逻辑的。

不断地换房间确实有点儿麻烦——虽然房间都是完全相同的，而且每次有客人入住前都会重新打扫干净。不过客人们还是愿意住在无穷旅馆，因为它价格便宜（每晚只要1美元）又特别豪华。这怎么可能呢？每天，管理人员收到所有客房的房费，每个房间1美元，然后按如下方式支出：从编号1到1000的客房收来的房费，用来购置免费香槟和草莓、提供客房服务和支付所有其他开销——所有这些都只提供给1号客房 。从编号1001到2000的客房收来的房费，按同样的方式为2号客房服务。这样，每间客房每天都会得到价值数百美元的物品和服务，管理人员也能从中赚取利润，所有这些都来自每个房间1美元的收入。

消息传开了，有一天一列无穷长的火车开过来，停在当地的火车站，载着无穷多的想住进无穷旅馆的人。发出无穷多的公共广播费时太长（而且酒店规定，每个客人每天被要求换房间的次数是有限的），但是没关系。管理人员只要宣布，“请所有客人立刻换到号码比现有房间号码大一倍的房间去”。显然客人们都可以做到。于是现在只有偶数号码的房间住了人，留下奇数号码的房间空着，可供新来的客人入住。这完全够接收无穷多的新客人，因为奇数数量与自然数数量完全相等，如图8-3所示。

图8-3　奇数数量与自然数数量完全相等

所以，第一个新来的客人住1号客房，第二个客人住3号客房，依此类推。

然后有一天，有无穷多列 无穷长的火车到站，车上所有的人都是酒店的客人。但管理人员仍然泰然自若，他们只需要把公告变得稍微复杂一些，熟悉数学术语的读者可以在页脚注释 [1] 里看到这份公告。重点是：每个人都能住下来。

不过，在数学上有 可能做到使无穷旅馆的容量不堪负荷。康托证明，并非所有的无穷大都是相等的，这是19世纪70年代的一系列重要发现之一。特别是，连续统的无穷大——有限线段里点的数量（与整个空间或时空里点的数量一样大）比自然数的无穷大要大得多。康托证明这一点的方法，是证明自然数与线段里点的数量不存在一一对应：这些点的集合的无穷性比自然数集合的无穷性有着更高的阶。

康托的证明有一个版本称为对角线法 。想象1厘米厚的一叠卡片，每张卡片都极其之薄，以至于0到1之间每个“实数”的厘米数都有对应的卡片。实数可以定义为0与1之间的十进制数，例如0.7071…，省略号仍然代表可能无限长的延续。不可能把每张这样的卡片都分配给无穷旅馆的一个房间。试想一下，假如卡片确实是 这么分配的，会怎么样？我们可以证明，这会引起矛盾。它意味着卡片是以类似图8-4的形式分配给各个房间的。（图中的数具体是多少并不重要，我们将要证明，实数不能以任何 顺序进行这种分配。）

图8-4　康托对角线法

注意看无穷数字序列中以粗体标注的数字，即“6996…”。然后考虑用以下方法构造一个十进制数：开始是0，后面跟一个小数点，后面任意继续，只除了每个数字都必须与无穷序列“6996…”里对应位置的数字不同。例如，我们可以挑选一个像“0.5885…”的数，对应这个数的卡片应当没有分配给任何房间，因为它的第一位数与分配给1号房间的卡片不同，第2位数与分配给2号房间的卡片不同，依此类推。它与已经分配出去的每张卡片都不同，因此，所有卡片都分配好了的原始假设带来了矛盾。

确实 小到可以与自然数一一对应的无穷称为“可数无穷” ，这个名字不太成功，因为没有人能数到无穷。但它的含义是，一个可数无穷集里的每个元素 ，原则上都可以通过按合适顺序去数这些元素来数到。比这更大的无穷称为不可数的。因此，任何两个相异的极限之间都有不可数无穷的实数。而且无穷的阶数 也不可数，每一阶的无穷都大到无法与低阶无穷一一对应。

另一个重要的不可数集，是对无穷旅馆的客人和房间进行再分配的所有逻辑上可能的方案 （或者用数学家的话来说是自然数所有可能的排列 ）。你可以轻松地证明，如果你想象用一个无穷长的表格列举任何一个再分配方案，如图8-5所示。

图8-5　描述一个客人再分配的方案

再想象把所有可能的再分配方案都列在表格里，一个接一个，然后“数”它们。对这个列表运用对角线法，可以证明这个表格是不可能实现的，因此，所有可能的再分配方案的集合是不可数的。

由于无穷旅馆的管理人员要用公共广播的形式具体说明一个再分配方案，说明的内容必须只包含一个有限的词语序列，也就只包含一个有限的字符序列。这类序列的集合是可数的，因而无限小于可能的再分配方案的集合。这意味着，所有逻辑上可能的再分配方案中，只有无穷小的一部分可以具体说明。对于无穷旅馆的管理人员那看似无穷无尽的把客人搬来搬去的能力，这是一个了不得的限制。几乎所有 逻辑上可能的、把客人分配到各房间的方法，都是无法实现的。

无穷旅馆有一个独特的、自给自足的垃圾处理系统。每天，管理人员首先重新安排客人，确保所有房间都有人入住。然后他们发出如下公告：“在接下来的一分钟内，请所有客人将自己的垃圾装好袋，交给大一个编号的房间的客人。如果你在这一分钟内收到 一个袋子，请在接下来半分钟内把它送出去；如果你在这半分钟内收到一个袋子；请在接下来四分之一分钟内把它送出去，依此类推（见图8-6）。”为了配合，客人们的行动必须相当快——不过谁也不必无穷 快地行动，也不用处理无穷多的袋子。根据旅馆的规定，每个人都只采取有限次数的行动。两分钟后，所有的垃圾传递行动都结束了。因此，客人们开始行动之后两分钟，就没有人手里还有剩下的垃圾了。

图8-6　无穷旅馆的垃圾处理系统

旅馆里所有的垃圾都从宇宙中消失，去了不存在的地方 。没有人把垃圾放到 不存在的地方，每位客人只是把一部分垃圾移到另一个房间。这个作为所有垃圾的去向的不存在的地方 ，在物理学上称为奇点 。奇点完全可能在现实中出现，在黑洞内部或其他地方。不过我离题了：我们仍然在讨论数学问题，不是物理问题。

当然，无穷旅馆有无穷多的员工，每位客人被分配了几名为其服务的员工。但员工自己也被当作客人看待，他们住在编了号的房间里，享受同其他客人一样的待遇：他们中的每一位，也被分配了几名为其服务的员工。不过，他们不准要求这些员工代替自己工作，因为如果所有人都这样做的话，旅馆就会陷入停顿。无穷并不是魔法，它有逻辑规则：这就是无穷旅馆思想实验的全部意义所在。

把自己所有的工作委托给更大编号的其他房间的员工，这种错误想法称为无穷回归 。它是不可能无穷地有效进行的诸多事务中的一种。有一个老笑话说，有一个捣乱的家伙打断一场天体物理学讲座，坚称大地是平的，由站在巨龟之上的大象的脊背支撑。演讲人问：“乌龟由什么支撑？”“另一只乌龟。”“那这只 乌龟又由什么支撑？”“你别以为我傻，”捣乱者得意洋洋地说：“是一直往下连绵不绝的乌龟呀。”该理论是一种坏解释，这不是因为它无法解释一切 （没有理论可以解释一切），而是它因为最终没能解释的东西完全就是它一开始声称能够解释的东西。（生物圈的设计者由另一个设计者设计，如此这般无穷无尽，是无穷回归的另一个例子。）

有一天，在无穷旅馆里，一位客人的宠物小狗不慎钻到垃圾袋里去了。它的主人没有注意到，就把装着小狗的垃圾袋传递给了下一个房间，见图8-7。

图8-7　寻找小狗

两分钟之内，小狗就到了“不存在的地方”。悲痛欲绝的主人打电话到前台。接待员通过公共广播系统宣布：“我们对造成的不便表示歉意，但一件有价值的东西被不经意地扔掉了。请所有客人撤销他们刚刚完成的垃圾转移行动，按相反顺序传递，一旦从更高编号的房间收到垃圾袋就立刻开始。”

无济于事。没有客人退回任何垃圾袋，因为隔壁房间的客人也没有退回任何垃圾袋。说垃圾袋到了不存在的地方，绝不是夸张。它们并没有被塞进一个神秘的“编号为无穷大的房间”，而是不复存在了，小狗也是如此。除了把小狗转移到旅馆内部另一个编号的房间，再没有人对它做过什么。但它不在任何房间里。它不在旅馆里的任何地方，也不在其他的任何地方。在一家有限旅馆里，如果你把一个物体从一个房间移到另一个房间，不管方式多么复杂，它最后都会在其中某一个房间里。客人们对小狗进行的每个独立操作都既无害又可逆，但是这些行动加在一起就消灭了小狗，不可逆转。

逆转这些行动是行不通的，因为如果行得通的话，就无法解释为什么一只小狗会来到其主人的房间，而不是一只小猫。如果真的来了一只小狗，解释只能是，它是从大一个编号的房间传过来的——依此类推。但这整个无穷的解释序列永远无法解释“为什么是一只小狗”这是一个无穷回归。

如果有一天1号房间确实来了一只小狗，它是从所有其他房间传过来的，会怎么样？这在逻辑上 是不可能的：它完全缺乏解释。在物理上，可能会出来一只小狗的那个“不存在的地方”称为“裸奇点”。祼奇点出现在一些思辨性的物理学理论中，但这些理论理所当然地受到批评，原因是它们不能作出预测。正如霍金说过的，“（从一个裸奇点中）可能出来电视机。”如果存在一条自然法则，规定从里面能出来什么，情况就会不一样——那种情况下就不存在无穷回归，奇点也不会是“裸”的。大爆炸可能就是这样一种相对温和类型的奇点。

我说过，所有的房间都是一样的，但有一个方面不同：房间号码。因此，考虑到管理人员不时要求的任务类型，小号码的房间最受欢迎。例如，1号房间的客人享有永远不必处理其他人的垃圾袋的特权，搬到1号房间的感觉就像彩票中了头奖。搬到到2号房间的感觉只比这稍差一点。但是，每一位 客人的房间号码都异常靠近开端，因此每位客人都有优先于其他几乎所有客人的特权。政客承诺照顾每个人 的利益的陈词滥调可以在无穷旅馆里实现。

每个房间都处在无穷的开始。这也是无界限的知识增长所具有的属性之一：我们只是刚刚触及皮毛，而且会永远这样。

因此，无穷旅馆里没有典型房间号 之类的东西，每个房间号都是非典型 地靠近开端。任何值的集合都有“典型”或“平均”的元素，这种直观想法不适用于无穷集。“罕见”和“常见”之类的直观想法也是如此。我们可能觉得，所有自然数有一半是奇数，一半是偶数，因此奇数和偶数在自然数中同样常见。但考虑以下重排方式（见图8-8）。

图8-8　自然数的一种重排方式，使得其中似乎有三分之一是奇数

这种重排方式使得奇数的常见程度好像只有偶数的一半。我们同样可以让奇数好像只占百万分之一，或者其他随便什么比例。因此，对于集合中元素所占比例 的直观概念，必定也不适用于无穷集。

在令人震惊的小狗消失事件发生后，无穷旅馆的管理人员想让客人们振作起来，于是安排了一个惊喜。他们宣布，每位客人都可以获赠一本《无穷的开始：世界进步的本源 》，或者一本我的旧作《真实世界的脉络 》。分配方案如下：他们向每百万分之一的房间发放一本旧书，向其余的每个房间发放一本新书。

假设你是旅馆里的客人，一本用不透明的纸包装成礼品的书出现在你房间的传送槽里。你希望它是这本新书，因为你已经读过旧的那本了。你相当有信心认为它会 是新书，因为你的房间收到旧书的可能性到底是多少？看起来像是百万分之一。

但是，你还没来得及撕开包装纸，广播通知又来了。每个人都要换房间，传送槽里会送来一张卡片，上面指定了房间号码。通知还说了，新的分配方案是，所有收到其中某一本书的客人搬到奇数号房间，收到另一本书的客人搬到偶数号房间，但没有说具体哪本对应什么样的房间。因此，你没法根据新的房间号来判断自己收到的是哪本书。用这种方法填满所有房间当然毫无问题：两本书都有无穷多的人收到。

你的卡片到了，你搬到新房间去了。现在你对于收到的书是哪一本是否把握更小了？想必没有。根据你先前的推理，现在你拿到《无穷的开始：世界进步的本源》这本书的可能性是二分之一 ，因为现在有“一半的房间”里放着这本书。由于这与前面百万分之一的估计相矛盾，你用来估算这些概率的方法肯定错了。事实上，所有估算这些概率的方法都是错的，因为正像这个例子说明的，在无穷旅馆里不存在 你收到一本书或另外一本书的概率这类事物。

这在数学上并不重要。该例子只是再次说明，在对自然数的无限集进行比较时，概然或非概然、罕见或常见、典型或非典型之类的属性毫无意义。

但回过头来谈物理学时，这对人择观点来说是一个坏消息。想象一个宇宙的无穷集，所有的宇宙都有相同的物理规律，只有一个特定物理常数在每个宇宙中的取值不同，我们称这个常数为D 。（严格说来，我们应该想象不可数 无穷多的宇宙，就像前面说的无穷薄的卡片，但这只会让我要讲的问题更麻烦，所以就让我们简化处理好了。）假设其中有无穷多个宇宙的D 的取值能产生天体物理学家，还有无穷多个的取值不能产生天体物理学家。然后我们对宇宙进行编号，所有有天体物理学家的宇宙编号为偶数，没有天体物理学家的宇宙编号为奇数。

这并不意味着有一半的宇宙里会有天体物理学家。就像在无穷旅馆里发书那样，我们同样可以通过编号使得只有每第三个宇宙甚或每第一万亿个宇宙才有天体物理学家，或者是只有每第一万亿个宇宙才没有天体物理学家。因此，微调问题的人择解释有错误：只要改变编号方式，就能让微调现象消失。我们可以随心所欲地编号，让天体物理学家看上去是正常情况，或反常情况，或两者之间的任何情况。

现在假设我们用不同的D 值用相关物理定律计算天体物理学家是否会出现。我们发现，D 值在比方说137到138的范围之外时，有天体物理学家的宇宙非常稀少，每万亿个这样的宇宙中只有一个拥有天体物理学家。D 值在上述范围之内时，只有万亿分之一的宇宙没有 天体物理学家；D 值在137.4和137.6之间时，所有宇宙都有天体物理学家。让我强调一下，现实中我们对遥远的地方天体物理学家的产生过程所知甚少，没法计算这样的数值——而且可能根本不应该去计算，我将在下一章中解释这一点。不过，不管我们能不能计算，人择理论学家们总希望这样解读这些数值，如果我们对D 进行测量，不太可能 得到处在137到138的范围之外的值。但它们并没有这样的含义。我们只要对宇宙重新编号（对无穷的“牌”堆重新洗牌），就能使间距完全反过来，或者变成任何其他我们喜欢的样子。

科学的解释不可能取决于我们选择怎样给理论涉及的实体进行编号，因此人择推理本身不能作出预测。这就是为什么我在第4章里说它不能解释物理常数的微调。

物理学家李·斯莫林提出了人择解释的一个巧妙变种。它依赖于以下事实：根据某些量子引力理论，黑洞有可能在自身内部孕育出一个全新的宇宙。斯莫林设想，新宇宙可能有着不同的物理规律，而且这些规律会受到母宇宙条件的影响。尤其是，母宇宙里的智慧生物可能对黑洞施加影响，使其产生物理规律对人友好的更多宇宙。但这种解释（称为“进化宇宙论”）有一个问题：最开始有多少个宇宙？如果有无穷多个，我们就要面对怎样去数它们的问题——而且，每个拥有天体物理学家的宇宙能导致另外几个宇宙诞生，仅凭这个事实并不会使这类宇宙所占的比例 得到有意义的增加。如果最开始没有宇宙，但整个体系已经存在了无穷长的时间，那这个理论就有无穷回归的问题。因为就像宇宙学家弗兰克·提普勒指出的那样，这样的话，整个集合体应当已经在“无穷长的时间以前”就进入了平衡态，意味着带来平衡的进化——被提出来解释微调的过程——从未发生 （就好比消失的小狗处在不存在的地方 ）。如果起初只有一个或有限数量的宇宙，我们将面临原始宇宙的微调问题：它们是否包含天体物理学家？想必没有。但如果原始宇宙产生了许多代的后裔，其中有一个偶然拥有天体物理学家，那就仍然没有解释整个系统（它现在受到单一一条物理规律支配，其中明显的“常数”根据自然规律的不同而不同）为何允许产生了这个最终对天体物理学家友好的机制。这种 巧合不存在人择解释。

斯莫林的理论做了件正确的事：它为所有宇宙的集合体提供了一个包罗万象的框架，以及不同宇宙之间的物理联系。但这个解释只能将宇宙与其“母宇宙”联系起来，而这是不够的，所以它不管用。

现在假设我们讲一个与现实有关的故事，它能把所有的宇宙都联系起来，并且为某一种对宇宙编号的方式赋予优先的物理意义。这类故事中有一个是这样的：有个女孩叫莱拉，出生在1号宇宙里，发现有一台设备可以把她带到其他宇宙里去。这台设备还使她能活在一个支持生命的小球内部，就算是在物理规律不支持生命的宇宙里也行。只要她按住设备上的某个特定按钮，就可以按照固定顺序 不断从一个宇宙移到下一个宇宙，每次间隔刚好一分钟。只要松开按钮，她就会回到自己的宇宙。让我们按照设备拜访它们的顺序把这些宇宙编号成1、2、3……

有时莱拉会带上测量常数D 的仪器，以及另一个测量宇宙中是否有天体物理学家的仪器（有点像SETI项目，但速度更快、更可靠）。她希望检验人择原理的预测。

但她只能访问有限数量的宇宙，没有办法判断这些宇宙是否能代表整个宇宙的无穷集。不过这台设备还有一个设定，它把莱拉带到2号宇宙需要1分钟，到3号宇宙需要半分钟，到4号宇宙需要四分之一分钟，依此类推。如果到2分钟的时候她还没有松开按钮，那么她将已经访问了无穷集里的每一个宇宙。在这个故事里，这指的是每一个存在的宇宙。随后，设备自动把她送回1号宇宙。如果她再次按下按钮，旅程就会从2号宇宙重新开始。

大多数宇宙只是一闪而过，快得莱拉根本来不及看到。但她的测量仪器不受人类感官的限制，也不受我们 世界里的物理规律的限制。测量仪器打开之后，显示屏上就会显示所有经过的宇宙里测量值的平均数，不管它们在每个宇宙里花了多少时间。例如，如果偶数编号的宇宙拥有天体物理学家而奇数编号的宇宙没有，那么在穿过所有宇宙的两分钟旅程结束后，类似SETI的仪器将会显示0.5。因此，在这个多重宇宙体系里，说一半的宇宙拥有天体物理学家是 有意义的。

使用一台以不同顺序访问同一批宇宙的宇宙旅行设备，得到的这个比例值会不同。但是 ，假设物理规律只允许用一种方式访问它们（就像我们的物理规律通常只允许我们按一种特定的顺序经历不同的时间）。由于现在测量设备只能以一种方式对平均值、典型值等作出反应，这些宇宙的一个理性中间人在思考概率、罕见与常见、典型与非典型、稀少与密集、有微调或无微调等时，将永远得到一致的结果。于是现在 人择原理可以作出可检验的概率预测了。

这一点之所以成为可能，是因为有着不同D 值的宇宙无穷集不再仅仅是一个集合，它是单一的物理实体，一个多重宇宙，其宇宙之间存在相互作用（莱拉的设备利用了这一点），使不同的部分彼此相关，从而为不同宇宙的比例和平均值赋予独特的意义，这个意义称为量度 。

目前人们提出来解决微调问题的人择理论，没有一个能提供这样的量度。大多数此类理论只是“如果存在有不同物理常数的宇宙会怎样”之类的猜想。不过，有一个物理学理论出于独立的理由描述了一个多重宇宙，它里面所有的宇宙都有着同样的物理常数，宇宙间的作用不需要包含跨宇宙旅行或测量，但它的确为多个宇宙提供了一个量度。这个理论就是量子论，我将在第11章讨论。

一个集合与其自身的一部分一一对应，用这种方式来定义无穷集，是从康托开始的。在那之前和之后，数学外行们对无穷的非正式直观理解方式（也就是，“无穷代表‘比有限事物的任何有限组合更大’的事物”），与这个定义之间只存在间接关联。而这种直观理解是循环定义的，除非我们对于什么是有限 以及什么是对有限进行“组合”的单一行动有着独立见解。直观答案将是以人类为中心的：如果某个事物原则上可以被人类体验所囊括，它必定是有限的。但“体验”又是什么意思？康托在证明有关无穷的理论时，是否“体验”了无穷？还是说他只体验到了符号？但我们总是只能 体验符号。

我们可以转而谈及测量仪器以回避这种人类中心主义：如果一个量原则上可以由测量仪器标示出来，那么它必定既不是无穷大，也不是无穷小。但是，根据这个定义，就算其基本解释指向数学意义上的无穷集，一个量仍然可能是有限的。为了显示一个测量结果，仪表指针可能移动了一厘米，这是一个有限的距离，但它包含着不可数无穷多的点。这是因为，虽然点在对事物的最低层次解释中经常出现，但预测中从来没有出现过点的数量 。物理学只管距离问题，而不管这段距离里点的数量。同样地，牛顿和莱布尼茨能用无穷小距离来解释瞬时速度之类的物理量，但实际上抛射体的连续运动中并没有物理上的无穷小或无穷大。

对于无穷旅馆的管理人员，播发一条有限的公共广播公告是一种有限的操作，虽然它会导致旅馆在数量无穷多的事件中发生转变。但另一方面，大多数 逻辑上可能的转变只能通过数量无限多的此类公告实现，而他们世界里的物理规律不允许这样做。请记住，无穷旅馆里没有人能采取数量超出有限的行动，不管是员工还是客人。同样地，在莱拉的多重宇宙中，测量仪器可以利用它能在有限的两分钟旅程里获得无穷多个测量值的优点，因此这在那个世界里是一个物理上有限 的操作。但以不同顺序对同一个无穷集取“平均”，需要进行无穷多次这样的旅行，这又不是那个世界的物理规律所容许的。

只有物理定律能确定什么东西在本质上是有限的。不能认识到这一点，经常会造成混乱。埃里亚的芝诺的悖论（例如说阿基里斯 [2] 跑不过乌龟）就是早期的例子。芝诺得出结论说，在阿基里斯和乌龟的赛跑中，如果乌龟在他前方出发，他就永远也追不上乌龟——因为当阿基里斯到达乌龟起跑的地方时，乌龟已经往前移动了一点；当他达到这个新的地点时，乌龟又往前移动了一点，如此这般无穷无尽。因此，“追上”的过程需要阿基里斯在有限的时间里进行无穷多次追赶，而他身为一个有限的人是假定 做不到这一点的。

你看出芝诺在做什么了吗？他只是假定 ，数学上碰巧被称为“无穷”的概念忠实地反映了物理境况的有限与无限的区别。这是完全错误的。如果他抱怨无穷的数学概念没有意义，那么我们可以让他参考一下康托的理论，后者表明这个概念是有意义的。如果他抱怨阿基里斯赶上乌龟的物理事件没有道理，那他就是在声称物理规律不一致——但它们是一致的。但他是抱怨说，人不能体验 一条连续路径上的每一个点，所以运动存在着某种不一致，那他就是把两种不同的、碰巧都称为“无穷”的东西搞混了。他所有的悖论中，除了这个错误就没有别的了。

阿基里斯能怎么样或者不能怎么样，不能从数学推导得来。它仅仅取决于相关的物理规律。如果物理规律决定阿基里斯能在给定时间里追上乌龟，他就能追上。如果这碰巧需要进行无穷多步的“朝特定地点移动”，那就会有这样的无穷多步。如果这需要他经历不可数无穷多的点，他就会经过这些点。但物理上 没有发生什么无穷。

因此，物理规定不仅决定了罕见与常见、概然与非概然、有微调或没有微调之间的区别，也决定了有限与无穷之间的区别。正如同一个宇宙集合 用一套物理规律测量时充满了天体物理学家而用另一套测量时却几乎没有，同一个事件序列既可能是有限的也可能是无穷的，取决于物理定律是什么样。

芝诺对另外几个数学抽象概念也犯了同样的错误。总体而言，他的错误在于把数学上的抽象属性与相同名称的物理属性搞混了。因为有可能证明与这个数学属性有关的定理，而它们是绝对必然真理，人就容易被误导认为，自己掌握了关于物理规律如何决定物理属性的先验知识。

另一个例子发生在几何学中。许多世纪以来，人们并没有弄清它作为数学系统与作为物理理论的区别——起初这没有什么危害，因为与几何学相比，当时的其他科学太简单了，而且欧几里得理论对当时的各种目的来说都是非常好的近似。但是，哲学家康德（1724—1804）虽然非常清楚数学上的绝对真理与科学上的偶然真理之间的区别，却还是得出结论说，欧几里得几何理论是不证自明的自然 真理。因此他相信，不可能去理性地怀疑一个真实三角形的内角和为180度。通过这种方式，他把从前无害的误解变成了他的哲学中的一个核心错误，即认为人可以“先验了解”（也就是说不进行科学研究就了解）一些关于现实世界的特定真理。当然更糟糕的是，“了解”非常不幸地代表着“证明”。

不过，在康德宣布不可能怀疑现实空间的几何是欧几里得几何之前，数学家们已经开始怀疑这一点了。此后不久，数学家高斯居然去测量了一个巨大三角形的内角 [3] ——不过没发现与欧几里得的预测有偏差。最终，比高斯的实验更加精确的实验证明了爱因斯坦弯曲时空理论，它与欧几里得理论相矛盾。在地球附近的空间里，一个巨大三角形的内角和可能达到180.0000002度，现今的卫星导航系统等必须考虑到它与欧几里得几何之间的差异。在其他情形下（例如黑洞附近），欧几里得几何与爱因斯坦几何之间的差异非常大，以至于无法再用“偏差”来描述。

同一错误的另一个例子发生在计算机科学中。图灵创建出计算理论，最初不是为了建造计算机，而是为了研究数学证明的性质。1990年，希尔伯特向数学家们发出挑战，要求他们建立一个关于证明的严格理论，条件之一是证明必须是有限的： 它们必须从数量有限的、以有限方式表达的公理出发，并且只包含数量有限的基本步骤，步骤本身也必须是有限的。图灵理论所理解的计算，与证明在本质上相同：每个有效证明都可以转换成一个计算，计算机能通过该计算根据前提得出结论；每个能正确执行的计算都是一个证明，输出值就是对输入值进行给定操作产生的结果。

现在，计算还可以理解成对函数进行计算，以任意自然数为输入值，输出值取决于对该输入值进行的特定操作。例如，使数增大一倍就是一个函数。无穷旅馆要求客人换房间的方式，通常是指定一个函数，让客人全都以不同的输入值（他们的房间号）对函数进行计算。图灵的结论之一是，几乎所有逻辑上存在的数学函数都不能用任何程序进行计算。出于同样的原因，绝大多数逻辑上可能的无穷旅馆换房间方案，也不能由管理人员发出的任何指令实现：所有函数的集合是不可数无穷，而所有程序的集合只是可数无穷。（这也是为什么说所有函数的无穷集的“几乎所有”元素都具备某个特定属性是有意义的。）因此，就像数学家哥德尔用另一种方法研究希尔伯特挑战时所发现的那样，几乎所有的数学真理 都没有证明， 它们是不可证明的真理。

这还意味着，几乎所有的数学陈述都是不可判定的 ：既不能证明它们为真，也不能证明它们为假。它们每一个都是 要么真要么假，但没有办法用大脑或计算机之类的物理对象来发现哪个真哪个假。物理规律只给我们提供了一个狭窄的窗口，通过这个窗口我们可以窥见抽象世界。

所有不可判定的陈述都直接或间接地与无穷集有关。对于反对数学无穷大的人来说，这是由于此类陈述没有意义。但对我来说，它是一个强有力的论证（就像霍夫施塔特的641论证一样），显示抽象事物是客观存在的。因为它意味着，一个不可判定陈述的真假值决不仅仅是一种描述物理对象（如一台计算机或一批多米诺骨牌）的便利手段。

有趣的是，极少有问题被人们了解 是不可判定的，虽然绝大多数问题都不可判定——我后面还会讲到这一点。但有许多未解开的数学猜想，其中有些很可能不可判定，例如“孪生素数猜想”。孪生素数是一对差值为2的素数，例如5和7。孪生素数猜想认为，不存在最大的孪生素数，也就是说，存在无穷多的孪生素数。为了讨论方便起见，假设这个观点用我们的物理学 不可判定，而用其他任何物理规律都可以判定。无穷旅馆的管理人员具体怎样解决孪生素数问题，对我的讨论并不重要。但为了让有数学头脑的读者明白，我还是在这里把它写出来。管理人员会这样通知：

首先：请在一分钟内检查你的房间号码和比它大2的号码是不是两个素数。

下一步：如果它们是两个素数，请通过号码较小的房间把消息传送下去，说你找到了一对孪生素数。请使用平常用来快速传递消息的方法（允许花1分钟完成第一步，此后每一步所用时间为上一步的一半）。把此类消息存储在此前没有记录过此类消息的最小号码的房间里。

下一步：检查号码比你的房间大1的房间。如果这位客人没有这样的记录，而你有，就向1号房间发送消息说，存在一对最大的孪生素数。

五分钟后，管理人员就会知道孪生素数猜想的真相。

所以，不可判定的问题、不可计算的函数、不可证明的命题在数学 上没有什么特别之处。它们只在物理学上有区别。不同的物理规律会造成不同的无穷事物、不同的可计算事物、不同的可了解真理（包括数学上的和科学上的）。只有物理规律能够决定，哪些抽象实体及关系能由数学家的大脑、计算机和纸张之类的物理实体来模拟。

有些数学家好奇，在希尔伯特提出他的挑战时，有限性是否真的是证明的一个本质特征（表示数学上的本质）。毕竟，无穷在数学上是有意义的，无穷的证明凭什么不是？希尔伯特讥笑了这一观点，尽管他是康托理论的坚定捍卫者。他和他的批评者都犯了与芝诺相同的错误：他们都假定某一类抽象实体能证明 事物，而数学推理能决定该类别是什么。

但如果物理规律实际上与我们现在认为的不同，那么我们能证明的数学真理集合也将与现在不同，可以用来证明它们的操作也会不同。我们所知的物理定律，碰巧给对独立信息单元（二进制数字或逻辑真/假值）进行的非、与、或 之类的操作赋予了某种特权地位。这就是为什么这类操作以及单元在我们看来是自然、基本和有限的。如果物理规律像无穷旅馆的那样，就会有另外的、对单元的无限集进行的特权操作。在另一些物理规律下，非、与、或 操作将是不可计算的，而有些在我们看来不可计算的函数看起来将是自然、基本和有限的。

这将我引向另一种由物理定律造成的区别：简单 与复杂 。大脑是物理对象，思考是物理规律允许的计算。有些解释可以轻松快速地弄懂，比如“如果苏格拉底是男人，柏拉图也是男人，那么他们都是男人”。这之所以很简单，是因为它可用短句来陈述，依赖于一个基本操作（即黑）的性质。还有一些解释天生难懂，因为它们最短的形式仍然很长，而且依赖于许多这样的操作。但不管解释的形式是长是短，需要的基本操作是很少还是很多，完全取决于用来陈述和理解它们的物理规律。

量子 计算目前被认为是完全通用的计算形式，它刚好与图灵的通用经典计算有着相同的可计算函数集合。但量子计算粉碎了关于“简单”或“基本”的经典理念。它使一些直观上看起来非常复杂的东西变得很简单。量子计算的基本信息存储实体“量子比特”很难用量子理论之外的术语解释。而以量子物理学的角度来看，普通的比特 是一个特别复杂的东西。

有些人反对说，量子计算不是“真正的”计算，它只是物理学、工程学。对这些人来说，奇怪的物理规律使奇怪的计算形式成为可能，这种逻辑上的可能性并没有触及证明“到底”是什么的问题。他们的反对言论大概会是这样：在合适的物理规律下，我们固然可以计算图灵不可计算的函数，但那不是计算 。我们可以对图灵不可判定的命题确立真假，但这种“确立”并非证明 ，因为到那时我们关于该命题是真还是假的知识将永远取决于我们关于物理规律的知识。如果有一天我们发现真实的物理规律不同，可能也必须改变对证明及其结论的看法。因此，它不是真正的证明：真正的证明是独立于物理学的。

这又是那种相同的误解（其中也有一些寻求权威的证明主义因素）。我们关于一个命题是真是假的知识，永远 取决于我们关于物理对象的行为的知识。如果我们对计算机或大脑在做什么改变看法，例如，如果我们断定，自己关于在证明中已经进行了哪些步骤的记忆是假的，就必须改变有关我们是否证明了什么东西的观点。而如果我们对物理规律让计算机做了什么改变看法，也是一样。

数学命题的真假确实与物理无关，但这样一个命题的证明 却完全是物理问题。不存在抽象的证明，正如不存在抽象的了解。数学真理是绝对必要并且超验的，但所有的知识都由物理过程产生，其适用范围和局限性受自然规律制约。人们可以定义一类抽象实体并称之为“证明”（或者计算），就好比可以定义一些抽象实体并称之为三角形，使它们服从欧几里得几何学。但你永远不可能从这个“三角形”理论推导出，当你沿着由三条直线组成的封闭路线行走时会转多大的角。数学上“理论的证明”与现实中能不能证明或了解什么真理毫无关系。同样地，抽象的“计算”理论也与现实中能不能计算什么毫无关系。

因此，计算或证明是一个物理过程，在此过程中，计算机或大脑之类的对象，把数或方程之类的抽象实体从物理上进行模拟或实例化，并模拟其属性。这就是我们了解抽象的窗口。这之所以有效，是因为我们只在拥有好解释的时候使用这些实体，这些解释表明那些对象里的相关物理变量的确能对那些抽象属性进行实例化。

因此，我们的数学知识的可靠性，永远从属于我们关于物理现实的知识的可靠性。每个数学证明的有效性，都绝对取决于我们已正确了解是什么样的规律在支配某些物理对象（如计算机、墨水和纸张、大脑）的行为。因此，与希尔伯特以及从古到今大多数数学家的观点相反，证明理论永远不会成为数学的一个分支。证明理论是一门科学：具体地说，它是计算机科学。

为数学寻找一个绝对安全的基础，这个动机根本就是错的，它是一种证明主义。数学的特点在于它对证明的运用，正如科学的特点在于它对实验检验的运用。两者的特点都不在于其目的。数学的目的是理解——解释 ——抽象实体。证明主要是用来排除错误解释的一种手段，有时它还能提供一些需要解释的数学真理。但是，像所有可能取得进步的领域一样，数学追求的并非随机真理，而是好解释。

物理规律显得似乎经过微调，以三种密切相关的方式：它们都可以用基本操作的单一有限集来表达；它们的有限操作和无穷操作有着同样一种区别；它们的预测都可以由单一物理对象——一台通用经典计算机进行计算（虽然通常可能要量子计算机才能有效 模拟物理学）。这是由于物理规律支持这样一种计算通用性，即人类大脑可以预测和解释与人类极不相同的对象（如类星体）的行为。而且，同样的通用性使像希尔伯特这样的数学家可以建立对证明的直观感受，并且错误地认为它是独立于物理学的。但它并非独立于物理学：仅在支配我们的世界的物理学里面 ，它才是通用的。如果类星体的物理学与无穷旅馆的物理学类似，取决于一些我们称为不可计算的函数，我们就无法对类星体进行预测（除非能用类星体或其他依赖相同规律的对象来建造出计算机）。在比这还要怪一点的物理规律下，我们将不能解释任何东西——也就不能存在。

因此，我们实际发现的物理规律确实有某种特殊——无穷 特殊——的地方，它们格外地计算友好、预测友好并且解释友好。物理学家尤金·维格纳称之为“数学在自然科学中不合理的有效性”。出于我讲过的理由，仅靠人择论证不能解释这一点。要用别的东西来解释。

这个问题似乎会吸引坏解释。对于数学在科学里不合理的有效性，宗教人士倾向于在其中看到天意，有些进化论者在其中看到进化的印记，有些宇宙学家在其中看到人择效果。同样地，有些计算机科学家和程序员在其中看到天空中的一台巨大计算机。举例来说，这种想法的一个版本是，我们通常认为的现实可能全都是虚拟现实，是在一台巨大的计算机——大模拟器——上运行的一个程序。乍看起来，这很有希望解释物理学与计算之间的联系：物理规律之所以能用计算机程序表述，可能是因为它们本来就是计算机程序。我们的世界里计算通用性的存在，也许是计算机（在这里是大模拟器）模拟其他计算机的能力的一个特例——依此类推。

但这个解释是一种妄想，它是一个无穷回归，因为需要放弃科学上的解释。如果我们和我们的世界都由软件组成，计算通用性的本性就决定了我们无法理解真正的物理学——大模拟器的硬件所依赖的物理学。

另一种把计算置于物理学的核心、解决人择推理的模糊性的方式，是想象所有可能的计算机程序 都在运行。我们认为的现实，只是由一个或多个此类程序产生的虚拟现实。然后我们用所有此类程序的平均来定义“常见”和“罕见”，按程序长度（每个程序包含多少基本操作）进行计数。但这再一次假定，对于什么是“基本操作”存在一个首选概念。由于程序的长度和复杂度完全取决于物理规律，这一理论仍然要求存在一个供这些计算机运行的外部世界，这个世界对我们将是不可知的。

这两种方法失败的原因在于，它们试图扭转物理学与计算之间的真实解释联接的方向。它们看起来有道理，完全是因为他们把芝诺的标准错误运用在了计算上，误认为经典可计算函数集合在数学中有着先验优势地位。但它并没有。这个操作集合唯一的优势是，它由物理规律实例化了。如果认为计算在某种程度上先于物理世界产生自己的规律，那就丧失了通用性的全部意义。计算通用性完全是在说我们的物理世界内部 的计算机，它们由通用物理规律彼此关联，我们（因此）能了解这些规律。

对于我们能了解什么、数学和计算可以实现什么的所有这些严厉限制，包括数学上不可判定问题的存在，这些东西怎样与“问题是可解决的”这一信条协调一致？

问题是思想观念之间的冲突。大多数抽象地存在的数学问题从来都不会成为此类冲突的主题，因为它们从来不是好奇的对象，从来不是对于抽象世界某些属性的互相冲突的误解的焦点。简单地说，它们大多数毫无趣味。

此外，回想一下，找到证据不是数学的目的，它仅仅是数学的方法之一。数学的目的是去理解，而且就像其他所有领域一样，数学的总体方法是提出假设、根据它们身为好解释的程度来进行批评。不可能仅通过证明一个数学命题为真来理解一个命题。这就是为什么会有数学讲座，而不是只罗列证明。而且，反过来，一个命题缺少证明并不代表它无法理解。相反，事情发生的顺序往往是：数学家首先 理解了某种存在疑问的抽象事物，然后 利用这些理解去猜想怎样证明有关这些抽象事物的正确命题，然后 再证明它们。

一个数学定理可以得到证明但永远很无趣。一个未经证明的数学猜想，即使几百年得不到证明，甚至不可证明，也可能产生丰富的解释。有一个例子是个已知的猜想，用计算机科学术语来说是“P≠NP”。它大体上是说，存在一些数学问题，其答案一经获得就可得到有效的核实 ，但不能先由一台通用（经典）计算机进行有效的计算 （“有效”的计算有技术性定义，与我们实际说起这个词来时所指的含义大体相似）。几乎所有研究计算理论的人都确信，该猜想为真（这进一步推翻了数学知识仅由证明组成的观念）。这是因为，虽然我们还不知道这些问题的证明，但对于我们为何预期它们为真，存在着非常好的解释，而且没有相反的解释。（据认为，对量子计算机来说也是这样。）

而且，有大量既有趣又有用的数学知识建立在这一猜想之上，其中包括像“如果 该猜想为真，则会有如此这般的有趣后果”这种形式的定理。还有一些数量较少但也非常有趣的定理，它们关心的是如果该猜想为假会有什么样的后果。

一个数学家研究一个不可判定的问题时，可能会证明 它不可判定（并解释为什么）。从这个数学家的角度来看，这就是一种成功。虽然它没有回答这个数学问题 ，却解决了数学家的问题 。就算是研究那种不会带来任何此类成功的数学问题，也不等于创造知识失败了。人们每次努力解决一个数学问题却以失败告终，就是发现了一个定理（通常也是一个解释），其内容是为什么这种解决方法行不通。

因此，不可判定性与“问题是可以解决的”这一信条并不矛盾，正如它与物理 世界中存在我们永远不能了解的真理这个事实并不矛盾。我预期有一天我们会拥有能够精确数出地球上有多少粒沙子的技术，但我怀疑我们永远也不会知道阿基米德时代的沙粒数量是多少。实际上，我在前面已经讲了一些关于我们能了解和实现什么的更严厉的限制。其中有通用物理规律直接施加的限制，诸如我们不能超越光速。还有认识论上的限制，诸如我们除了用猜想和批评的易谬主义方法之外，没有其他创造知识的途径；错误是不可避免的，只有纠错过程能长期成功或持续。所有这些都与上述信条不矛盾，因为其中没有哪条限制会引发不可解决的解释冲突。

因此我猜想，在数学、科学和哲学上，如果某个问题是有趣的，那么这个问题就是可解决的 。易谬主义告诉我们，对于什么是有趣的，我们可能会犯错。因此，这一猜想有3条推论。第一条是，本质上无法解决的问题是本质上无趣的。第二条是，长远而论，有趣或无聊之间的区别不是一种主观感觉，而是一个客观事实。第三条是，为什么 每个有趣的问题都是可解决的，这个有趣的问题本身也是可解决的。现在，我们不知道为什么物理规律看上去是经过微调的；我们不知道为什么存在不同形式的通用性（虽然我们知道它们之间存在许多关联）；我们不知道为什么世界是可解释的。但最终我们会知道。而当我们知道了这些之后，又会有无穷多的新东西等着我们去解释。

所有对知识创造的限制中，最重要的一种限制是：我们不能预言，也就是说，我们不能预测尚未被创造出来的思想观念会有什么样的内容和影响。这一限制不仅与知识的无限增长一致，也是后者必需的，我会在下一章里解释。

问题是可解决的，并不意味着我们已经知道了解决问题的方案，或者可以按要求产生出解决方案，那将近乎神创论。生物学家彼得·梅达沃将科学描述成“可解决的艺术”，这个形容适用于所有形式的知识。所有类型的创造都包括关于哪些方法可能有用或无用的判断。对特定问题或子问题产生兴趣或失去兴趣，是创造性过程的一部分，本身也是问题解决过程的一部分。因此，“问题是否可以解决”并不取决于任何特定的问题能否回答，或者能否在特定时候由特定的思考者回答。但如果 进步取决于打破某个物理规律，那么“问题是可以解决的”就是错的。

术语

一一对应—— 用一个集合里的每个元素对另一个集合里的每个元素进行计数。

无穷（数学意义上的）—— 如果一个集合能与自身的一部分一一对应，它就是无穷的。

无穷（物理意义上的）—— 一个相当模糊的概念，其含义类似于“比任何在原则上可由体验囊括的事物更大”的某种东西。

可数无穷—— 小到可与自然数一一对应的无穷。

量度—— 一种方法，一个理论可以通过该方法使事物（如宇宙）无限集的比例和平均具有意义。

奇点—— 一种状况，在这种状态下，某种物理事物变得无边界地大，但保持处处有限。

多重宇宙—— 一个统一的物理实体，包含一个以上宇宙。

无穷回归—— 一种错误。在此类错误中，一个论述或解释依赖于一个相同形式的子论述，后者声称要着手解决的问题与原始论述的问题本质上是同一个。

计算—— 一个物理过程，能对某些抽象实体的性质进行实例化。

证明—— 一种计算，如果有了运行它的计算机怎样运作的理论，它就能确立某些抽象命题的真实性。

“无穷的开始”在本章的意义

——人们对无穷（和通用性）的古老反感的终结。

——微积分，康托的理论与其他有关数学无穷大和无穷小的理论。

——沿无穷旅馆的走廊里所见的景象。

——无穷序列的属性，每个元素都格外地接近开始。

——理性的通用性。

——一些思想的无穷延伸范围。

——一个多元宇宙的内部结构，使“宇宙的无穷”具有意义。

——未来知识的内容的不可预测性，是知识无限增长的必要条件。

小结

我们可以通过一些解释的无穷延伸来理解无穷。无穷在数学和物理上都有意义，但它具有反直观的属性，希尔伯特关于无穷旅馆的思想实验展示了其中一些这类属性。属性之一是，如果真的会出现无穷的进步，那么我们不仅是目前处于接近起点的地方，还将永远处在接近起点的地方。康托利用他的对角线法证明，无穷有无穷多的层次，物理学至多用到了最开始的一层或两层：自然数的无穷和连续统的无穷。在观察者有无穷多个相同副本的地方（例如多重宇宙中），概率和比例并无意义，除非这些副本总体上拥有一个结构，而该结构服从那些赋予这些概念以意义的物理规律。一个纯粹的无穷宇宙序列不具备这样的结构，就像无穷旅馆的房间一样，这意味着人择推理本身是不足以解释物理常数“微调”的表象。证明是一种物理过程：一个数学命题是否可以证明、是否可判定，都取决于物理规律，这决定了哪些抽象实体和关系可用物理对象来模拟。同样，一个任务或模式是简单还是复杂，也取决于物理规律是什么样。

* * *

[1] 他们首先对原有客人广播“对每个自然数N ，请房间编号为N 的客人立刻搬到编号为N （N +1）/2的房间去”。然后广播“对所有自然数N 和M ，请第M 列火车的第N 号旅客入住编号为[（N +M ）2 +N －M ]/2的房间”。——原注

[2] 阿基里斯，古希腊神话中的勇士，荷马史诗《伊利亚特》里的重要人物。——译注

[3] 高斯曾主导汉诺威公国的大地测量工作，其间对相距甚远的三个山头构成的三角形测量内角和，希望验证非欧几何的正确性。——译注